Algebra [Lecture notes] by Eva Zerz

By Eva Zerz

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Algèbre : Classe de Seconde des Lycées et Collèges. Programme 1947

Desk des matières :

Livre I. — Calcul algébrique

Première leçon. — Nombres algébriques
    Addition des nombres algébriques
    Sommes algébriques
    Propriétés des rapports
Deuxième leçon. — Puissances. Racines d’un nombre arithmétique. Racines d’un nombre algébrique
Troisième leçon. — Égalités. Rapports égaux. Proportions. Inégalités
Quatrième leçon. — Vecteurs. Relation de Chasles
Cinquième leçon. — Expressions algébriques. Monômes. Polynômes
Sixième leçon. — Multiplication des monômes et des polynômes. Identités remarquables
Septième leçon. — department des monômes et des polynômes. Identités remarquables
Huitième leçon. — Fractions rationnelles. Expressions irrationnelles

Livre II. — Le greatest degré

Neuvième leçon. — Équation du ideal degré à une inconnue
Dixième leçon. — Équations se ramenant au greatest degré. *Équations irrationnelles
Onzième leçon. — Inéquation du preferable degré à une inconnue
Douzième leçon. — Signe du binôme du most well known degré. *Applications aux inéquations
Treizième lecon. — Systèmes d’équations du most effective degré à deux inconnues
    I. Élimination par substitution
    II. Élimination par addition
Quatorzième leçon. — *Systèmes d’équations du ideal degré (suite)
Quinzième leçon. — Systèmes d’équations à plusieurs inconnues
    Systèmes particuliers
Seizième leçon. — Problèmes du leading degré

Livre III. — Les fonctions

Dix-septième leçon. — Généralités sur les fonctions. Coordonnées et graphiques
Dix-huitième leçon. — Étude de l. a. fonction : y = ax
Dix-neuvième leçon. — Étude de los angeles fonction : y = ax + b
Vingtième leçon. — purposes de los angeles fonction linéaire
Vingt et unième leçon. — Étude de los angeles fonction : y = ax²
Vingt-deuxième leçon. — Étude de los angeles fonction : y = 1/x
Vingt-troisième leçon. — Étude de l. a. fonction : y = a/x

Livre IV. — Le moment degré

Vingt-quatrième lecon. — Équation du moment degré
Vingt-cinquième leçon. — *Relations entre les coefficients et les racines
Vingt-sixième leçon. — *Signe des racines
Vingt-septième leçon. — *Équations et systèmes se ramenant au moment degré
Vingt-huitième leçon. — *Trinôme du moment degré
Vingt-neuvième leçon. — *Inéquations du moment degré. Applications
Trentième leçon. — Problèmes du moment degré

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Mn und Bi(φ) = G1 /N1 × . . × Gn /Nn . Der Homomorphiesatz liefert den Rest. Gilt Ni = {e} f¨ ur alle i, so ist φ injektiv. 54 KAPITEL 2. 6 Semidirekte Produkte Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G, und U eine Untergruppe von G. Bekanntlich ist U N dann eine Untergruppe von G. Gilt zus¨atzlich U N = G und U ∩N = {e}, so nennt man G das (interne) semidirekte Produkt von U mit N . 23 Sei G das semidirekte Produkt von U mit N . Dann gilt: 1. Jedes g ∈ G l¨asst sich auf eindeutige Weise als g = un mit u ∈ U und n ∈ N schreiben.

Betrachte Gi mit 0 ≤ i ≤ l. Behauptung: Es gilt entweder Gi ⊆ N oder Gi N = G. Denn aus Gi ⊆ N folgt N Gi N ⊆ . . ⊆ G1 N ⊆ G. Aber G1 N ist ein Normalteiler von G (da G1 und N es sind) und die Maximalit¨at von N liefert G1 N = G. Nun ist G2 N ein Normalteiler von G1 N (da G2 ein Normalteiler von G1 ist, und N ein Normalteiler von G). Also ist G2 N ein Normalteiler von G und wieder liefert die Maximalit¨at von N , dass G2 N = G. Iterativ folgt Gi N = G. Setze G∗i := Gi ∩ N . Sei j minimal mit Gj ⊆ N .

Aus f = x3 + px + q = (x − α1 )(x − α2 )(x − α3 ) erh¨alt man durch Koeffizientenvergleich 0 = α1 + α2 + α3 , −q = α1 α2 α3 . p = α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 , Daraus folgt nach m¨ uhsamer Rechnung (oder mithilfe von Gr¨obner-Basen) α12 + α22 + α32 = −2p und α13 + α23 + α33 = −3q sowie (α12 α2 + α1 α32 + α22 α3 ) + (α1 α22 + α12 α3 + α2 α32 ) = 3q. =:δ1 =:δ2 Weiter ist δ = (α12 α2 + α1 α32 + α22 α3 ) − (α1 α22 + α12 α3 + α2 α32 ) = δ1 − δ2 . Also folgt 3q + δ = 2δ1 und 3q − δ = 2δ2 . Schließlich ergibt sich, wenn man zus¨atzlich char(K) = 2 annimmt und verwendet, √ −1+ −3 2 , dass dass w + w + 1 = 0, also etwa w = 2 q (α1 + wα2 + w2 α3 )3 = 27 − + 2 p 3 3 p 3 3 q 2 2 + q 2 2 + ∈ K(δ, √ −3).

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